domingo, 24 de abril de 2016

MÁS SIMILITUDES ENTRE LÍMITES Y TICS

MÁS SIMILITUDES ENTRE LÍMITES

Los siguientes límites tienen en común su forma: 

1. Una función dividida entre X

2. La variable X tiende al valor 0

3. Su límite es: UNO

Se muestran a continuación los ejemplos con sus correspondientes representaciones gráficas:


A. FUNCIÓN SENO


B. FUNCIÓN ARCO SENO



C. FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL




D. FUNCIÓN EXPONENCIAL





E. FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO



A MANERA DE CONCLUSIÓN:

Las TICS, con su dinamismo permiten a estudiantes y docentes explorar el comportamiento de los objetos matemáticos sin ninguna restricción, llevando a los dos a la apropiación racional de las ideas matemáticas.

Siempre estoy trabajando por mostrar algo diferente!

Nos vemos!








SORPRENDENTES SIMILITUDES EN EL CÁLCULO DE LÍMITES

SORPRENDENTES SIMILITUDES EN EL CÁLCULO DE LÍMITES

Revisando diferentes formas de límites, se encuentra una asombrosa similitud entre dos límites, uno de funciones trigonométricas y otro de logarítmicas.

El límite trigonométrico muy conocido y explorado en una entrada anterior de este blog es:
Surge un nuevo límite con logarítmos, el cual tiene forma parecida al anterior y converge también a 1:


Examinemos sus representaciones semióticas:

1. REPRESENTACIÓN NUMÉRICA:

Tabla de -10 a 10:
 La tabla anterior nos da valiosa información complementaria:

De - infinito a -1, la función no existe

X = -1, es asíntota vertical de la función.

TABLA DE -1 A 1

Permite detectar que la función, a medida que X se acerca a 0 por la izquierda y por la derecha , la función se acerca a 1:

2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA



La representación gráfica también permite confirmar la convergencia a 1.

Una herramienta poderosa en la construcción del conocimiento es saber establecer similitudes entre diferentes objetos materiales y/o simbólicos y es en este punto donde las TICS pueden apoyarnos fuertemente.

!ESPERO QUE LO DISFRUTEN COMO YO!

!ADIOS!

sábado, 16 de abril de 2016

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS Y TICS

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS Y TICS

He aquí la visualización por medio de gráficas y tablas numéricas de algunos límites trigonométricos especiales, unos finitos y otros infinitos:

1. FUNCIÓN SENO

En el siguiente límite, inicialmente se produce una indeterminación, pero el análisis gráfico, numérico y posteriormente el algebraico lleva a un resultado finito:



CONCLUSIÓN: 
Lim sin(x)/x, cuando x tiende a 0 es 1

2. FUNCIÓN COSENO

En este límite la indeterminación inicial se mantiene.



CONCLUSIÓN: 
Lim cos(x)/x, cuando x tiende a 0 es: INFINITO


3. FUNCIÓN TANGENTE

Nuevamente el análisis de las diferentes representaciones nos lleva a un límite finito:



CONCLUSIÓN:
Lim tan(x)/x, cuando x tiende a 0, es: 1

4. FUNCIÓN COTANGENTE


CONCLUSIÓN: 
Lim cot(x)/x, cuando x tiende a 0, es: INFINITO

5. FUNCIÓN SECANTE


CONCLUSIÓN: 
Lim sec(x)/x, cuando x tiende a 0, es INFINITO

6. FUNCIÓN COSECANTE

CONCLUSIÓN:
Lim csc(x), cuando x tiende a 0, es INFINITO

Las representaciones semióticas gráficas y numéricas nos permiten ganar en comprensión sobre este tipo especial de límites.

ESPERO OS HAYA GUSTADO.

NOS VEMOS

miércoles, 13 de abril de 2016

TEOREMA DEL SANDWICH

TEOREMA DE COMPRESIÓN
(SANDWICH)

Se quiere calcular el siguiente límite:
1. MÉTODO GRÁFICO:

Se grafica en Derive las funciones:

Se obtiene el siguiente resultado:



En la representación gráfica se observa claramente que a medida que X se acerca a 0, por los lados IZQUIERDO y DERECHO, las funciones se acercan a 0. Lo anterior nos dice que el límite de la función inicial es CERO. En este caso estamos acudiendo a la CORPORIZACIÓN DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS, es decir aprehendemos de sus propiedades por los sentidos: LA VISTA.

2. MÉTODO NUMÉRICO

La tabla de la función -X^2, muestra que cuando X se acerca a 0 por izquierda y derecha, la función X^2, se acerca a 0
La tabla de la función X^2*SEN(1/X), deja ver que cuando X se acerca a 0 por ambos lados, la función se acerca también a 0:

Finalmente la tabla de X^2, muestra comportamiento idéntico a las anteriores:


La conclusión de las tres representaciones es que la función original "comprendida" entre las otras dos, converge a 0

3. APLICACION DE HERRAMIENTA EN LÍNEA: EL IMPERIO DE LOS NÚMEROS


La aplicación corrobora el resultado del límite.

4. CÁLCULO EN LÍNEA:

 

La aplicación WOLFRAM ALPHA, presenta idénticos resultados a los anteriores.

5. MÉTODO "MANUAL": Generalmente se dice que un ejercicio se resolvió "a mano", cuando en realidad en esta solución confluyen diferentes herramientas: Lápiz y papel, técnicas del cálculo (simbólicas).

En la matemática tradicional y formal se busca al final construir la solución ALGEBRAICA o ANALÍTICA, la cual sin lugar a dudas es importante, pero hemos llegado a este punto luego de recorrer un camino grato de comprensión del problema.


Los diferentes métodos de resolver el problema, se constituyen en DEMOSTRACIONES SITUADAS, por cuanto dependen de un contexto específico, las cuales son de gran valor didáctico.

!ANIMO, EL CALCULO ES HERMOSO!

!NO DESFALLECER!

!HASTA PRONTO!


domingo, 10 de abril de 2016

LÍMITE GEOMÉTRICO POR SUCESIÓN DE TRIÁNGULOS

REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE UN LÍMITE

Raymond Duval, habla de las representaciones semióticas de los objetos matemáticos y sugiere la regla de oro de la didáctica: Para construir un concepto el individuo necesita de al menos TRES REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS del objeto. En este sentido se presenta en este taller realizado con estudiantes el límite de una sucesión de triángulos equiláteros inscritos, que cumplen con la condición de estar construidos sucesivamente en los puntos medios del triángulo inmediatamente anterior:

REPRESENTACIONES SEMIOTICAS DEL CONCEPTO DE LÍMITE


PASO 1: En la gráfica se observa una sucesión de triángulos equiláteros inscritos y se detecta muy fácilmente que a medida que se construyen más triángulos inscritos, el área de estos se "acerca" a CERO. Se tiene así la primera representación semiótica del límite.

PASO 2: Apoyado en las funciones de CABRI, el estudiante calcula las longitudes de los lados y las áreas de los triangulos graficados, se origina así la representación semiótica numérica del proceso de límite. Se detecta rápidamente que las áreas se reducen a la mitad de la anterior, lo cual proyectado a un proceso infinito nos lleva al valor cero.


PASO 3: Consiste en construir la representación algebraica del área del triángulo que ocupa el puesto n-ésimo. Este paso es estrictamente analítico y es el estudiante quien lo construye y llega a el por medio del análisis del comportamiento de la representación geométrica y numérica. Aquí juega vital importancia la exploración, la formulación de hipótesis, aspectos favorecidos por el software de geometría dinámica CABRI.

PASO 4. Se realiza la construcción de la representación gráfica de la relación entre LADO DEL TRIÁNGULO - ÁREA DEL TRIÁNGULO. Nuevamente la representación cartesiana nos lleva a la conclusión que las áreas de los triangulos inscritos TIENDE A CERO, cuando el proceso tiende a INFINITO.

La interrelación dinámica de las diferentes representaciones permite al estudiante construir el concepto de límite de una forma más estable, comprensiva, robusta, etc.

Todo lo anterior nos lleva a la conclusión:

Esta es la nueva forma de estudiar matemáticas. 
!Maravilloso!

!Nos vemos!

domingo, 3 de abril de 2016

GRÁFICAS DE FORMA PARAMETRICA: "Dudar de todo lo que se ve"

"Dudar de todo lo que se ve"

El siguiente ejercicio con ecuaciones paramétricas se plantea en el libro de texto: PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO, de B. Deminovich y otros.

A partir de la ecuación paramétrica, se pide graficar.

PRIMER APROXIMACIÓN: A lápiz y papel.



SEGUNDA APROXIMACIÓN: Calculadora graficadora VOYAGE 200




TERCERA APROXIMACIÓN: DERIVE 5.0



CUARTA APROXIMACIÓN: APLICACIÓN EN LÍNEA WOLFRAM ALPHA



ANÁLISIS:

La solución a L&P, permite identificar dos ramas de la gráfica, ubicadas en el segundo y tercer cuadrantes.

La calculadora Voyage 200, nos ofrece únicamente una rama de la gráfica, ubicada en el tercer cuadrante.

El software matemático DERIVE 5.0, nos muestra la presencia de un lazo en el primer cuadrante. Sin la ayuda de esta herramienta muy dificilmente nos percataríamos de su existencia.

La aplicación el línea, WOLFRAM ALPHA, reitera la existencia del lazo en el primer cuadrante.

Un análisis numérico en el intervalo de X de 0 a 2, dos presenta:

Al revisar la representación numérica, se observa que el lazo está en el intervalo de 0 a 1. A partir del valor 1, la gráfica se ubica en el tercer cuadrante.

Una actividad muy interesante, espero la disfruten.

!Los espero muy pronto!