viernes, 28 de diciembre de 2012

SUPERELIPSES






Sobre SUPERELIPSES.

Continuando con el blog anterior, resulta oportuno analizar el caso de la elipse y la variación de sus exponentes, partiendo de 2, siguiendo con 2.5, luego con 10 y luego con 100.

La ecuación #1, de la lista adjunta, corresponde a una elípse de eje en X, de tamaño 4 y en Y de tamaño 3. En la gráfica corresponde a la curva de color rojo.

La ecuación #2, difiere de la anterior por sus exponentes iguales a 2.5. PIET HEIN, la denominó como LA SUPERELIPSE, quien fue un famoso arquitecto, matemático, filósofo. Encontró ésta curva al solicitársele diseñar una glorieta, la cual no es ni circular, ni cuadrada, es el punto intermedio.

La gráfica de la ecuación #3, es de color negro, se ve que se aproxima a la forma de un cuadrado.

La ecuación #4, gráficamente corresponde a un "rectángulo". Cuando los exponentes, se hacen muy grandes, es decir, tienden a infinito, la elipse se transforma en un rectángulo.

El precursor de éstos resultados fue GABRIEL LAMÉ, quien al hacer variar los exponentes de la ecuación de una elipse, observó éstos resultados.

Gracias a la presencia de las TICS, ahora nos resulta más fácil comprender y disfrutar de éstos hallazgos matemáticos.

La superelipse tiene gran aplicación en múltiples de los objetos cotidianos, veamos las siguientes ilustraciones:

Plaza Sergel de Estocolmo - Diseño Superelíptico de PIET HEIN


Estadio Azteca, de forma SUPERELÍPTICA

Mesa de forma superelíptica

A manera de conclusión: Las nuevas tecnologías acercan la ciencia a todos los ciudadanos, se convierten en instrumentos de la democratización de la educación.


miércoles, 26 de diciembre de 2012

ALEX EN EL PAÍS DE LOS NÚMEROS 1

En estos días estoy leyendo ALEX EN EL PAÍS DE LOS NÚMEROS,del escritor Alex bellos, el libro es interesante en el sentido que busca ser accesible a un público que no posea una formación matemática muy avanzada. De tantos temas que aborda y de los cuales iré comentando, adelantaré una perla:

Una ecuación estudiada en bachillerato es la de la circunferencia:


Lo novedoso es pensar qué pasará con la gráfica de ésta ecuación, si se cambian los exponentes, por otros números, por ejemplo: 4, 6, 8, 10, ..., 100, etc. He aquí la respuesta, brindada por DERIVE:



La curva de color azul, es



la de color rojo, es:

 4    4   
x  + y  = 1

la de color verde es:

 6    6   
x  + y  = 1

etc...

la última curva, es:

 100    100   
x    + y    = 1.

ASOMBROSO: Cuando el exponente crece de dos en dos hacia infinito, la curva resultante es UN CUADRADO.

Esta sería una forma de transformar una circunferencia en un cuadrado, el cual fue el sueño griego y es un problema que matemáticamente NO SE PUEDE RESOLVER.

Si en lugar de usar exponentes pares, se usan impares, por ejemplo:

 3    3   
x  + y  = 1, (color rojo)

 5    5   
x  + y  = 1, (color azul)

 7    7   
x  + y  = 1, (color negro)

 101    101   
x    + y    = 1, (color verde)

Se obtienen las siguientes curvas:

 

Se observa que a medida que el exponente crece, con valores impares, las curvas tienden a la línea quebrada de color verde, que corresponde a partes de las rectas:

y = -x, (recta de color negro inclinada a la izquierda)

y = 1, para -1 menor o igual que x, y x, menor o igual que 1. (segmento horizontal que pasa por y=1)

x = 1, (segmento vertical al eje x, que pasa por 1)

Haciendo un poco de abstracción, las ecuaciones de exponentes impares, "peinan", al cuadrado generado por las ecuaciones de exponentes pares.

Uniendo los dos grupos de ecuaciones, se obtiene:



Un trabajo similar se puede hacer con la ELIPSE.

En este ejercicio, se observa el poder de la tecnología, el cual permite explorar las ideas y objetos matemáticos, de forma versatil, dinámica y atractiva. Las matemáticas apoyadas por las TICS, adquieren  un perfil más hermoso.

LOS BABILONIOS SABÍAN TRIGONOMETRÍA ANTES QUE LOS GRIEGOS

Comparto con los lectores un novedoso artículo tomado de THE TELEGRAPH, relacionado con los orígenes de la Trigonometría: 3,700 años de...