domingo, 30 de junio de 2013

VARIANTES TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras es muy famoso y de gran aplicación. Todos lo recuerdan de su bachillerato. Al menos dicen haber oído hablar de él, aunque no lo recuerdan al detalle.

En Wikipedia, se encuentra el siguiente resultado:


Pero éste es uno de muchos resultados interesantes de ésta propiedad geométrica.


Lo interesante es que si en vez de cuadrados, se construyen semicírculos, la propiedad se mantiene: El semicírculo A1, es la suma de las áreas de los semicírculos A2 y A3!. La siguiente construcción se ha realizado en CABRI II PLUS, programa de geometría dinámica, que permite evidenciar en forma situada las propiedades matemáticas que se deseen estudiar. Lo interesante es que se pueden cambiar las dimensiones con un simple arrastre - draging y ver que las propiedades se mantienen.

Lo mismo sucede si se construyen triángulos equiláteros en cada lado del triángulo original: El área del triángulo equilátero A1, es igual a la suma de los triángulos equiláteros A2 y A3.


Ahora se construyen pentágonos regulares sobre los lados del triángulo rectángulo. La propiedad se mantiene, es decir se trata de un INVARIANTE GEOMÉTRICO, algo así como una ley universal: Si sobre los lados de un triángulo rectángulo, se construyen polígonos regulares, el área del polígono construido sobre la hipotenusa, es igual a la suma de las áreas de los polígonos construidos sobre los catetos. En el argot de nuestros estudiantes "AGUANTA"

La siguiente figura se ha construido en CABRI y se ha incluido tambien una tabla de valores, que complementa la DEMOSTRACIÓN SITUADA, es decir una demostración propia del entorno. el siguiente paso es demostrar esta propiedad a la usanza matemática, al estilo griego.


Sobre el teorema de Pitágoras hay mucho por decir, lo haremos más adelante.

viernes, 28 de junio de 2013

FRACTALES: Objetos naturales - matemáticos maravillosos

Me han recomendado un enlace a un sitio que trae muestras de FRACTALES: Objetos naturales - artificiales - matemáticos maravillosos

Se crean por medio de procesos recursivos, cíclicos con la variación de parámetros en ecuaciones diversas.

Los invito a ver 60 ejemplos de fractales en el siguiente enlace:

http://www.1stwebdesigner.com/inspiration/60-beautiful-fractals-created-with-apophysis-part-1/

Veamos algunos ejemplos:

ja 3d-apófisis-inspiración


fusión del hielo-inspiración


Cualquier parecido con la realidad es "FRACTAL"

Motion apófisis-inspiración

Los ejemplos han sido creados con el software APOPHYSIS. La tarea es aprender a manejar esta aplicación.

lunes, 3 de junio de 2013

CALCULADORAS GRÁFICADORAS Y DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS DE CAPTURA DE DATOS

CALCULADORAS GRÁFICADORAS Y DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS DE CAPTURA DE DATOS


Además del poder graficación, de cálculo simbólico y numérico y otras prestaciones, las calculadoras graficadoras han surgido acompañadas de dispositivos que permiten capturar datos de fenómenos reales, para modelarlos y así comprender sus características. A continuación se hace referencia a estos dispositivos, que acompañan a las calculadoras TI.

CBR, CBR2 DE TEXAS INSTRUMENTS (TI)

Es un dispositivo electrónico basado en un sonar, permite capturar los datos relacionados con el movimiento de un cuerpo, útil para el estudio de fenómenos de la mecánica - movimiento rectilíneo uniforme, acelerado, caída libre, oscilatorio, etc. Al conectarse a las calculadoras TI, se puede mediante procesos de regresión sencillos modelar el movimiento. De esta manera los estudiantes pueden entender la relación existente entre un modelo matemático (fórmulas, funciones) y un fenómeno real. TI, ha diseñado nuevos dispositivos de recolección de datos. Se recomienda visitar la página web de ésta empresa.

En la imágen se observa un CBR2 (Calculator Based Radar), y la representación matemática del rebote de una pelota.
Product image for Calculator-Based guardabosques 2

figure.md-btd.001.jpg

más información sobre el CBR2, en el link:

http://www.vernier.com/products/sensors/motion-detectors/cbr2/

para información de accesorios de captura de datos (Temperatura, PH, CO2, etc), conectarse al link:

http://education.ti.com/educationportal/sites/US/homePage/nspire-data-collection-sensors.html



CBL 2 ™


Una manera fácil de recopilar y analizar los datos del mundo real

El sistema CBL 2, la segunda generación del Laboratorio Calculator-Based TM sistema, es un dispositivo portable, handheld, con pilas para la recopilación de datos del mundo real. Los datos recogidos con un dispositivo CBL 2 pueden ser recuperados y analizados por las calculadoras gráficas TI . Con el CBL 2 y los sensores apropiados, se puede medir el movimiento, la temperatura, la luz, el sonido, el pH, la fuerza y mucho más.
Más de 50 sensores de TI y Software y tecnología están disponibles haciendo que el CBL 2 recopilación de datos dispositivo ideal para las matemáticas de la escuela secundaria, la ciencia, la biología, la química, la física y las matemáticas de secundaria. Los estudiantes descubren cómo las matemáticas y la ciencia afectan al mundo que les rodea mediante el desarrollo de hipótesis, la realización de experimentos y la formación de conclusiones.
CBL_2_L

Más información en:

http://education.ti.com/en/us/products/data-collection/cbl-2/features/features-summary


CALCULADORAS VIRTUALES

Un nuevo paradigma surge con el surgimiento de las calculadoras simbólico graficadoras y el avance de internet, éste consiste en que las empresas productoras de las calculadoras lanzan versiones de las mismas para ser "bajadas" de internet, se las denomina CALCULADORAS VIRTUALES. Las diferentes marcas comerciales y libres han lanzado este tipo de servicios.

Una característica que acompaña a todas las calculadoras de última generación es la de ser compatibles con los computadores.

Para tener una versión de las calculadoras de la familia TI, se puede ir al sitio:

http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/389/38962.html

o hacer la búsqueda por medio de cualquier navegador de internet.



sábado, 1 de junio de 2013

CALCULADORAS SIMBÓLICO GRAFICADORAS

CALCULADORAS SIMBOLICO GRAFICADORAS

La aparición de las calculadoras científicas, trajeron consigo un avance en la forma como la gente empezó a resolver sus problemas relacionados con el cálculo numérico, de alguna manera se democratizó el uso de la aritmética, ya no eran solamente patrimonio de "iniciados", todos podían ahora calcular rápidamente los resultados de hechos de la vida diaria que necesitaban de lo numérico.

El siguiente gran paso se dio con el surgimiento de las calculadoras con capacidades graficadoras, ahora ya era posible representar gráficamente funciones básicas como las lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, etc.

La fx-7000G de CASIO, fue la primera calculadora gráfica que apareció en el mercado a mediados de la década de 1980.

Pero el cambio ya estaba en su furor, surgen las calculadoras con la capacidad de realizar cálculos simbólicos  ya era posible hacer operaciones con polinomios o expresiones algebraicas: sumar, multiplicar, dividir, HALLAR LÍMITES, DERIVAR, INTEGRAR, ETC. Todo lo anterior era una habilidad estrictamente HUMANA, ahora las máquinas ya lo podían hacer. La memoria del ser humano, se EXTERNALIZÓ, junto con sus capacidades procedimentales.

Texas Instruments, impone un nuevo modelo de calculadora, que aprovecha los referentes teóricos de incorporación de TICS en el salón de clase: Hace de la TI 92 PLUS, su calculadora una excelente mediadora entre el usuario y la matemática, aprovecha e integra en sus funciones la capacidad de interrelacionar las representaciones semióticas de los objetos matemáticos: relaciona las "formulas", con sus representaciones numéricas - tablas de valores y con sus representaciones gráficas. Aloja en su núcleo la nueva regla de oro de la didáctica: TRES REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE LOS OBJETOS FACILITAN LA APROPIACIÓN DE LOS MISMOS POR PARTE DE LOS USUARIOS (ESTUDIANTES, DOCENTES). Ahora el aprendizaje se vuelve colaborativo, según lo pregonaba VIGOTSKY: El aprendizaje, en un primer momento es de carácter social, en un segundo momento es individual y finalmente vuelve al grupo social para consolidarse. Estas nuevas máquinas facilitan este proceso. Experiencias a nivel nacional e internacional lo corroboran. Resolver problemas de diferente natura, se convierte en un proceso de exploración, de conjetura, para al final alcanzar la solución. Acompañados de TICS, estudiantes y profesores adquieren una nueva dimensión en la solución de problemas. Realizar operatoria numérica y algebraica con ayuda de una calculadora simbólica, procura una fluidez algorítmica y conceptual por parte de los usuarios, gracias a la posibilidad de explorar y validar supuestos sobre la naturaleza de los objetos matemáticos.

A continuación presento una breve referencia de calculadoras, lista que puede ser ampliada muy fácilmente:

TEXAS INSTRUMENTS
TI 92 PLUS



TI VOYAGE 200




TI-Nspire CAS con Touchpad. 

touchpad_cas-360
Esta calculadora, tiene las siguinets principales características:

CAS (Computer Algebra System) - Explora álgebra simbólico y el cálculo simbólico, además de los cálculos numéricos estándar. Ver valores exactos - en forma de variables como x e y, radicales y pi - cuando se hace paso a paso, aritmética, cálculo algebraico y cálculos.

  • Imágenes del mundo real - Usar las imágenes digitales o sus propias fotos ** superposición de conceptos matemáticos y científicos..Descubra conexiones con el mundo real.
  • Representación gráfica en 3D - Gráfico y girar (manual y automática) funciones 3D.


Para ver más calculadoras gráficadoras de Texas Instruments, ir al enlace:

http://education.ti.com/es/latinoamerica/products/calculadoras-graficas


CASIO

FX CG20:

fx-CG20Pantalla gráfica a color

Más características de éstas calculadoras, en el link:

http://www.casio-intl.com/latin/es/calc/scientific/graphic/fxcg20/?m_no=286


LA CALCULADORA EN EL AULA. FUNDAMENTACION TEÓRICA. MEDIACIÓN

 
En el 2005, escribimos con un colega, Oscar Fernando Soto A., un libro sobre el uso de las TICS en matemáticas, titulado LA CALCULADORA EN EL AULA, me permitiré publicar algunos apartes del mismo, por su vigencia y aplicabilidad en los contextos del uso de las tecnologías computacionales en el campo educativo.

En el capitulo 1., se abordan 5 principios que son importantes tener en cuenta al introducir TICS en el aula de clase, cito a continuación parte del capítulo, el cual presentaré en varias entregas para no cansar al lector.
 





FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LAS TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS
El país participa de la revolución tecnológica en informática que tomó un mayor auge en la década de los noventas. Se dotó de aulas de informática a las instituciones educativas del país, los docentes recibieron una capacitación mínima, la informática se constituyó como una nueva asignatura obligatoria en los currículos escolares.

Desafortunadamente la incorporación del computador en escuelas, colegios y universidades, no ha respondido a un modelo curricular de carácter interdisciplinario e innovador.

A partir de 1998, el MEN (Ministerio de Educación Nacional de Colombia) a través de su proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnologías (NT´s) al currículo de matemáticas inicia un proceso sistemático que intenta subsanar los errores pasados. En primer lugar la dotación de recursos informáticos se hace en tres fases: piloto, extensión y ampliación. Hasta la fecha el MEN ha dotado con calculadoras TI 92 PLUS, VIEW SCREENS, CBRS, CBLS y GRAPH LINKS a 125 colegios del país.Los docentes participantes del proyecto, aspiran a que se amplíe esta dotación, tanto a sus instituciones como a las demás que conforman el sistema educativo del país. El segundo aspecto que en el pasado había sido descuidado, se toma como estrategia fundamental en el nuevo proyecto: La capacitación continua y asesoría permanente a los docentes que participan en el proyecto.

El éxito o fracaso de cualquier proyecto depende del grado de efectiva participación de sus integrantes, entendiendo esta como la capacidad de influir en la toma de decisiones. Este ha sido un aspecto que ha tenido plena cabida en el proyecto. El trabajo conjunto entre colegios y universidades de cada departamento de Colombia ha sido otro ingrediente que ha influido positivamente en el diseño, desarrollo e impacto del proyecto. La participación de las universidades, ha aportado su infraestructura, potencial humano y experiencia investigativa para los buenos resultados en las diferentes fases.

No hay nada más práctico que una buena teoría. (K. Lewin). Esta proposición ha sido una brújula que determina el norte al proyecto y además ha sido uno de los objetivos que se ha ido implementado en el tiempo y continúa siéndolo. La construcción y apropiación colectivas de una base teórica que respalde el proyecto de NTS sin lugar a dudas, es uno de los resultados principales del proyecto.

El marco teórico del proyecto de nuevas tecnologías esta conformado por: 

La mediación instrumental, 
representaciones semióticas ejecutables, 
cognición situada,
solución de problemas, 
fluidez algorítmica y fluidez conceptual. 

1.1 LA MEDIACIÓN 

“El descubrimiento capital de la experiencia dialéctica (...) es que el hombre es “mediado” por las cosas en la medida misma que las cosas son “mediadas” por el hombre”. J. P. Sartre, Crítica de la Razón Dialéctica. 

La cita anterior permite reflexionar sobre las relaciones que se dan entre el ser humano y su entorno, cada uno de ellos es, gracias al otro. En el propósito de aplicar las ideas derivadas de la mediación, a continuación se revisa los conceptos de mediación pedagógica y mediación tecnológica.

Mediación Pedagógica. “Se llama pedagógica a una mediación capaz de promover y acompañar el aprendizaje, es decir, la tarea de cada educando de construirse y apropiarse del mundo y de sí mismo” (Prieto, 1995) y de “Reconocer seis instancias de mediación: La institución, el educador, el grupo, el contexto, los medios y materiales y uno mismo; cada una con sus diferenciaciones, producto de los condicionamientos culturales y sociales o bien de la inflexión que cada conjunto de seres le da a una instancia”. Prieto (op. Cit.).

Si bien las seis instancias mencionadas merecen análisis en el contexto educativo, centraremos nuestro interés en los medios y materiales.

LOS BABILONIOS SABÍAN TRIGONOMETRÍA ANTES QUE LOS GRIEGOS

Comparto con los lectores un novedoso artículo tomado de THE TELEGRAPH, relacionado con los orígenes de la Trigonometría: 3,700 años de...