EL PROBLEMA DE LA SUMA DE TRES CUBOS IGUAL A 33

La siguiente entrada ha sido tomada del sitio: Quanta Magazine de autoría de John Pavlus, del 29 de marzo de 2019

Resuelto el problema de la suma de tres cubos para el "terco" número 33

Un teórico del número con destreza en programación ha encontrado una solución a 33 = x³ + y³ + z³, una ecuación muy estudiada que no se resolvió durante 64 años.



os matemáticos se preguntaron durante mucho tiempo si es posible expresar el número 33 como la suma de tres cubos, es decir, si la ecuación 33 = x ³ + y ³ + z ³ tiene una solución. Sabían que 29 podrían escribirse como 3³ + 1³ + 1³, por ejemplo, mientras que 32 no se puede expresar como la suma de tres enteros cada uno elevado a la tercera potencia. Pero el caso del 33 quedó sin resolver durante 64 años.
Ahora, Andrew Booker , un matemático de la Universidad de Bristol, finalmente lo ha descifrado: descubrió que (8,866,128,975,287,528) ³ + (–8,778,405,442,862,239) ³ + (–2,736,111,468,807,040) ³ = 33.
Booker encontró este extraño trío de enteros de 16 dígitos al diseñar un nuevo algoritmo de búsqueda para separarlos de los cuatrillones de posibilidades. El algoritmo se ejecutó en una supercomputadora universitaria durante tres semanas seguidas. (Dice que pensó que llevaría seis meses, pero una solución "surgió antes de lo que esperaba"). Cuando la noticia de su solución llegó a internet a principios de este mes, otros teóricos de los números y entusiastas de las matemáticas se mostraron muy entusiasmados. Según un video de Numberphile sobre el descubrimiento , el propio Booker literalmente saltó de alegría en su oficina cuando se enteró.
¿Por qué tanta euforia? Parte de esto es la dificultad de encontrar una solución de este tipo. Desde 1955 , los matemáticos han usado las computadoras más poderosas que pueden usar para buscar en la recta numérica los tríos de enteros que satisfacen la ecuación de "suma de tres cubos" k = x ³ + y ³ + z ³, donde k es a número entero. A veces las soluciones son fáciles, como con k = 29; otras veces, se sabe que no existe una solución, como sucede con todos los números enteros que dejan un resto de 4 o 5 cuando se divide entre 9, como el número 32.
Pero por lo general, las soluciones son "no triviales". En estos casos, el trío de enteros en cubos, como (114,844,365) ³ + (110,902,301) ³ + (–142,254,840) ³, que equivale a 26, se parece más a un boleto de lotería que a cualquier cosa predecible estructura. Por ahora, la única forma en que los teóricos de los números descubren tales soluciones es jugar la "lotería" matemática una y otra vez, utilizando la fuerza bruta de la búsqueda asistida por computadora para probar diferentes combinaciones de enteros en cubos, y esperar una "victoria".
Pero incluso con computadoras cada vez más potentes y algoritmos más eficientes lanzados al problema, algunos números enteros se han negado obstinadamente a ceder boletos ganadores. Y el 33 fue un caso especialmente obstinado: hasta que Booker encontró su solución, fue uno de los dos enteros que quedaron por debajo de 100 (excluyendo aquellos para los que definitivamente no existen soluciones) que aún no se pueden expresar como una suma de tres cubos . Con 33 fuera del camino, el único que queda es 42.
La razón por la que tardó tanto tiempo en encontrar una solución para 33 es que buscar lo suficientemente arriba de la línea numérica (hasta 10 16 , o diez billones, y hasta los enteros negativos) para el trío numérico correcto fue computacional Poco práctico hasta que Booker ideó su algoritmo. "No solo ha ejecutado esta cosa en una computadora más grande en comparación con las computadoras hace 10 años, ha encontrado una manera genuinamente más eficiente de ubicar las soluciones", dijo Tim Browning , teórico del Instituto de Ciencia y Tecnología de Austria.
Los algoritmos anteriores "no sabían lo que estaban buscando", explicó Booker; podrían buscar de manera eficiente un rango dado de enteros en busca de k = x ³ + y³ + z ³ para cualquier número entero k , pero no pudieron apuntar a uno específico, como k = 33. El algoritmo de Booker podría, y por lo tanto, funciona "tal vez 20 veces más rápido, en términos prácticos", dijo, que los algoritmos que adoptan un enfoque no dirigido.
Con el boleto ganador de 33 ahora en la mano, Booker planea buscar el siguiente para una solución para 42. (Ya determinó que no existe ninguno en el rango de los diez billones de dólares; tendrá que buscar más en la recta numérica, al menos a 10 17.) Pero incluso cuando él u otro teórico numérico hayan identificado soluciones de suma de tres cubos para cada entero elegible hasta 100, enfrentarán 11 enteros más "obstinados" sin soluciones de suma de tres cubos entre 101 y 1.000, y una infinitud de ellos más allá de eso. Lo que es más, dicen Booker y otros expertos, cada nueva solución encontrada para uno de estos holdouts no arroja ninguna luz teórica sobre dónde o cómo encontrar el siguiente. "No creo que estos sean objetivos de investigación suficientemente interesantes por sí mismos para justificar grandes cantidades de dinero para acaparar arbitrariamente a una supercomputadora", dijo Booker.
Entonces, ¿por qué molestarse con 33 o 42 en absoluto?
Lo que es "suficientemente interesante", explicó Booker, es que cada nueva solución es "una herramienta para ayudarlo a decidir qué es verdad" sobre el problema de la suma de tres cubos. Ese problema, declarado como k = x ³ + y ³ + z ³, es lo que los teóricos de los números llaman ecuación diofántica, una especie de estructura algebraica cuyas propiedades han fascinado a los matemáticos durante milenios. "Son lo suficientemente ricos para codificar [otras afirmaciones matemáticas] que no tienen nada que ver con las ecuaciones diofánticas", dijo Browning. "Son lo suficientemente ricos como para simular computadoras".
Las ecuaciones diofánticas son ecuaciones polinomiales cuyas variables desconocidas deben tomar valores enteros. Sus propiedades básicas pueden obstaculizar a los teóricos del número. Por ejemplo, no existe ningún método matemático que pueda decir de manera confiable si alguna ecuación diofántica dada tiene soluciones. Según Booker, el problema de la suma de tres cubos "es uno de los más simples" de estas espinosas ecuaciones diofánticas. "Está justo en la frontera de lo que podemos manejar", agregó Browning.
Por esa razón, los teóricos de los números están ansiosos por entender todo lo que puedan sobre sumas de tres cubos. Un resultado importante sería probar la conjetura de que k = x ³ + y ³ + z ³ tiene infinitas soluciones para cada número entero k , excepto aquellos kque tienen un resto de 4 o 5 después de dividirse por 9. Las herramientas diseñadas para tal prueba podrían abrir la lógica del problema o aplicarse a otras ecuaciones diofánticas. Resultados como Booker's for 33 ofrecen apoyo para esta conjetura, dando a los teóricos de los números más confianza en que es una prueba que vale la pena seguir. De hecho, cada vez que los teóricos de los números han buscado más en la línea numérica con sus algoritmos de búsqueda, por ejemplo, extendiéndose a 10 14 en 2009, a 10 15 en 2016, y ahora a 10 16 en 2019, nuevas soluciones para enteros previamente obstinados se han encontrado de manera confiable, eliminando posibles contraejemplos de la conjetura.
"Todas estas cosas son una especie de acumulación de datos", dijo Browning. Señaló que la nueva solución de Booker para 33 "no va a cambiar el curso de la investigación matemática en esta área. Pero es gratificante ver que las cosas están cayendo como deberían ".

CONCLUSIÓN: El resultado difundido por este artículo, reitera la importancia fundamental de las TICS en todos los ámbitos de la matemática, como son el investigativo, de la enseñanza, el aprendizaje, la difusión, etc.

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