domingo, 3 de agosto de 2014

La Hipótesis de Riemman para jóvenes estudiantes


Retomo un Artículo publicado en el calendario CENAMEC año 2000, mes de Febrero. Copyright 1999, Reservados todos los derechos. Argimiro Arratia, arratia@ma.usb.ve

La Hipótesis de Riemman para jóvenes estudiantes
por

Argimiro Arratia
Departamento de Matemáticas
Universidad Simón Bolívar

Estimado estudiante:

Es la opinión de la mayoría de los matemáticos del mundo, que la Hipótesis de Riemman es el problema más importante de las matemáticas aún sin resolver … posiblemente. Al parecer un matemático de nombre francés, quien labora en la Universidad de Purdue, EEUU, afirma haber resuelto este problema. Pero hasta que su solución no salga debidamente publicada y avalada por una buena cantidad de matemáticos, considera el reto de ser tú el primero en resolverla. Te explico entonces, de manera sencilla, lo que es la Hipótesis de Riemann, aunque no con las palabras que utilizó Bernhard Riemman en 1859. (Sí, este es un problema bastante antiguo.)

Considera los números naturales, 1, 2, 3, 4, 5, …, etc., y desecha los que sean divisibles por el cuadrado de un natural mayor que 1; es decir, borramos de la lista el 4, 8, 9, 16, 18, 20, 24, …, etc., para obtener los naturales libres de cuadrados:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, …

Cada uno de los naturales de la lista anterior, excepto el 1, tiene una factorización única como producto de números primos distintos. Algunos de estos naturales libres de cuadrados son el producto de un número par de distintos primos, y otros son el producto de un número impar de distintos primos. Llamemos a un número natural bueno si es el 1 o si es el producto de un número par de distintos primos, y llamémoslo malo si es el producto de un número impar de distintos primos. Así, 6 = 2 x 3 es bueno y 30 = 2 x 3 x 5 es malo.

La Hipótesis de Riemman dice que, para cualquier natural n grande, la diferencia numérica entre los buenos y los malos que hay entre 1 y n no es mucha. De manera más precisa:

Hipótesis de Riemman: Sea e > 0. Entonces existe N tal que para todo n > N, la cantidad de naturales malos en [1,n] no difiere de la cantidad de naturales buenos en [1,n] por más de n1/2 + e .

Por ejemplo, si n = 30, los naturales libres de cuadrados entre 1 y 30 son:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30.

Entre éstos, sólo hay ocho buenos: 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22 y 26, y once malos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y 30 . Vemos que la diferencia entre ellos es de tres números malos y 3 < 301/2 .

Si calculas la diferencia entre malos y buenos (o entre buenos y malos) en [1,n] para otros n, puedo asegurarte que tu resultado será < n 1/2 ; lo cual parece indicar que e en la Hipótesis de Riemman debería tomarse igual a 0. Esto mismo pensó un matemático alemán, llamado Franz Mertens, en 1897, y se arriesgó a conjeturar lo siguiente:

Conjetura de Mertens: Para todo n > 1, la disparidad entre los naturales malos y los buenos en [1,n] es siempre menor que n1/2.

Mertens murió mucho antes de que otros matemáticos refutaran su conjetura. En 1985, Odlyzko y te Riele, demostraron que existen infinitos valores de n para los cuales los buenos exceden a los malos en el intervalo [1,n] por más de (1,06)n1/2. Pero también demostraron que existen infinitos valores de n para los cuales los malos exceden a los buenos en el intervalo [1,n] por más de (1,009)n1/2.

Asi que, amigo estudiante, no descartes ese e ni te limites a N = 1 cuando intentes demostrar la Hipótesis de Riemman y ¡a trabajar!

Artículo publicado en el calendario CENAMEC año 2000, mes de Febrero.
Copyright 1999, Reservados todos los derechos.
Argimiro Arratia, arratia@ma.usb.ve

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