MATE TICS

CÁLCULO Y GRAFICACIÓN  DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS La gráfica de la función secante, y = sec(x) = 1/cos(x) ,  es la siguiente: Nos interesa la función inversa de la secante, es decir: arc sec(x). En las calculadoras y en los computadores no se encuentra una tecla o combinación de ellas que permita su cálculo. Esta dificultad se supera sabiendo que: arc sec(x) = arc cos(1/x) Aprovechamos ésta relación para graficar arc sec(x), usamos el software GRAPES: Ahora simultaneamente las gráficas de sec(x) y arc sec(x): En la última gráfica se incluye la recta y = x, la cual es eje de simetría para dos funciones mutuamente inversas. Una manera de graficar la inversa de una función es aprovechar la simetría de éstas funciones. Veamos ahora arco cosecante (x): Como csc(x) = 1/sen(x), arc csc(x) = arc sin(1/x) Con base en esta identidad, graficamos en Derive:

Hoy buscando funciones trigonométricas inversas, de las cuales hallé algunas propiedades que desconocía, volví a encontrar dibujos por medio de ecuaciones, los cuales se hallan en el sitio WOLFRAM.COM. veamos: Ahora las pocas ecuaciones usadas para graficar: x (t) = ((-6 / 7 sin (22/15-13 t) sen -46/45 (11/10-10 t) -13 / 7 sin (16/11-3 t) -69/10 sin (17/12-2 t) 529/5 sin (t 11/7) 4/9 pecado (4 t 38/9) 32/7 sin (5 t 10/7) 4 / 3 sen (6 t 13/14) 25/4 sin (7 t 16/11) 9/7 pecado (8 t 10/11) 43/10 sen (9 t 17/12) + 7.3 pecado (11 t 22/5) 4/9 pecado (12 t 20/9) 81/5), theta (59 pi-t) theta (t-55 pi) + (-251/13 sin (11/8-3 t) 4100/11 sin (t 8/5) 31/9 sin (2 t 9/4) 17/12 pecado (4 t 22/5) 115 / 9 pecado (5 t 22/13) 24/11 pecado (6 t 9/2) 201/10 sen (7 t 17/10) 9/4 sin (8 t 13/5) + 112/11) theta (55 pi-t) theta (t-51 pi) + (507/5 sin (t 11/7) 1/5 sen (2 t 48/11) 73/10 sin ( 3 t 11/7) 23/10 sen (4 t 11/7) 1359/7), theta (51 pi-t) theta (t-47 pi) + (680/7 sin (t +11 / 7) 8/13 sin (2 t 23...

Comprender en que consiste resolver una ecuación y en particular trigonométrica, es posible por medio de la  representación gráfica de la ecuación, aspecto que se facilita con el advenimiento de las TICS matemáticas. Una vez visualizada la solución en forma gráfica, sigue el reto para el aprendiz resolverla a la buena usanza de lápiz y papel. Un ejemplo: Resolver la ecuación trigonométrica: 2*tg(x) - 3*cot(x) - 1 = 0 Solución gráfica en WOLFRAM.COM: Dar click al link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2+*tan(x)-3*cot(x)-1%3D0 La solución la conforman los puntos marcados en el eje X. Otro ejemplo: Resolver la ecuación trigonométrica: Se ingresa la expresión en WOLFRAM.COM, dar click al enlace: http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos+%28x%29+%5E+2+-3*sen%28x%29%5E2%3D0 Se VE claramente la solución: 0.5 y -0.5. Una imágen dice más que mil palabras!

Pregunta: A qué es igual sin(X + Y)? La primera solución que se nos ocurre es: sin(X + Y) = sin(X) + sin(y). Es posible verificar si la hipótesis es correcta, dando valores a X e Y,  por ejemplo, utilizando excel: En la tercera columna se calcula directamente seno(x+y) y en la cuarta columna se aplica la supuesta forma de seno(x+ y), inmediatamente nos damos cuenta que son diferentes. En este caso la respuesta correcta la da la tercera columna, la cuarta columna es un supuesto que habíamos asumido, pero verificamos que es falso. Mediante procesos matemáticos deductivos, se logra construir la verdadera solución, la cual corresponde a la siguiente forma: sen(X + Y) = sen(X)cos(Y) + cos(X)sen(Y) Apoyados en las herramientas en línea de www.wolfram.com , graficamos la identidad, la cual corresponde a una gráfica en tres dimensiones: sen(x+y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) Gráficamente se observa que sen(x)+ sen(y), es d...

Sobre SUPERELIPSES. Continuando con el blog anterior, resulta oportuno analizar el caso de la elipse y la variación de sus exponentes, partiendo de 2, siguiendo con 2.5, luego con 10 y luego con 100. La ecuación #1, de la lista adjunta, corresponde a una elípse de eje en X, de tamaño 4 y en Y de tamaño 3. En la gráfica corresponde a la curva de color rojo. La ecuación #2, difiere de la anterior por sus exponentes iguales a 2.5. PIET HEIN, la denominó como LA SUPERELIPSE, quien fue un famoso arquitecto, matemático, filósofo. Encontró ésta curva al solicitársele diseñar una glorieta, la cual no es ni circular, ni cuadrada, es el punto intermedio. La gráfica de la ecuación #3, es de color negro, se ve que se aproxima a la forma de un cuadrado. La ecuación #4, gráficamente corresponde a un "rectángulo". Cuando los exponentes, se hacen muy grandes, es decir, tienden a infinito, la elipse se transforma en un rectángulo. El precursor de éstos resultados fue...

En estos días estoy leyendo ALEX EN EL PAÍS DE LOS NÚMEROS ,del escritor Alex bellos, el libro es interesante en el sentido que busca ser accesible a un público que no posea una formación matemática muy avanzada. De tantos temas que aborda y de los cuales iré comentando, adelantaré una perla: Una ecuación estudiada en bachillerato es la de la circunferencia: Lo novedoso es pensar qué pasará con la gráfica de ésta ecuación, si se cambian los exponentes, por otros números, por ejemplo: 4, 6, 8, 10, ..., 100, etc. He aquí la respuesta, brindada por DERIVE: La curva de color azul, es la de color rojo, es:  4    4    x  + y  = 1 la de color verde es:  6    6    x  + y  = 1 etc... la última curva, es:  100    100    x    + y    = 1. ASOMBROSO: Cuando el exponente crece de dos en dos hacia infinito, la curva ...